Podríamos imaginar otro escenario con las piedras que generan donde la distribución binomial pueda ser usada en diez ensayos con el propósito de obtener una media = 6.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Nuestra siguiente modificación involucra un escenario donde cada vez que las piedras azules son manipuladas, una nueva piedra azul aparece con probabilidad «p» o ninguna piedra aparece con probabilidad 1-p. En este escenario, sin embargo, X- número de manipulaciones hasta que la primera piedra aparezca, sigue una distribución geométrica, E [X] = 1/p, Var [X] = (1-p)/p2
Ejemplo, podríamos pensar también en otro escenario donde el número de piedras que aparece siga una distribución geométrica con una media = 5.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La modificación final que sugerimos implica un escenario donde otra vez, cada manipulación de las piedras resulta en ninguna piedra o en una piedra nueva. Sin embargo, no hay un número fijo de probabilidad «p» o un número fijo de manipulaciones. Asumimos que las piedras azules están siendo manipuladas siguiendo un índice constante sobre un intervalo dado de tiempo. Ahora X = número de piedras que aparecen sobre un intervalo de tiempo. X sigue la distribución de Poisson con una media y una varianza dadas = media.
Ejemplo, podemos pensar en una situación donde el número de piedras que aparecen en una hora si X sigue la distribución de Poisson con una media = 5/hora
DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Las distribuciones continuas son distribuciones donde la variable aleatoria X, puede tomar un número incontable o un número infinito de valores. Podemos también pensar en una situación donde las piedras que generan representen una variable aleatoria continua.
Puestos a reflexionar sobre el infinito, nos imaginamos otra manera en la que podría haber actuado Cragie con las piedras azules. Una manera simple hubiera sido usar la distribución normal y crear un intervalo de confianza tal como sigue:
1. Manipular la piedra un número fijo de veces = n
2. Encontrar E [X] y una desviación estándar como describimos antes,
3. Encontrar el intervalo apropiado «z» o intervalo.
Por lo expuesto anteriormente y de manera simplificada, hemos podido ver que la estadística bien puede aplicarse al realto «Tigres azules». La estadística puede, en las manos de los personajes de Borges —que son arquetipos platónicos; se explican genéricamente— aliviar así su reacción aprehensiva al ser confrontados al devastador infinito.
El relato «Tigres azules» podría, desde luego, como lo hizo muy bien el estudioso Esteban Mata, ser analizado desde la perspectiva de la teoría del caos, y puede también ser comentado simplemente como un cuento fantástico donde suceden extraños fenómenos que no ameritan ni aceptan explicaciones racionales. También podríamos comentarlo en tanto un relato donde se plasma una fantasía metafísica, que de acuerdo a Bioy Casares, es la característica crucial de las fantasías borgeanas. Incluso podríamos analizar este cuento como si fuera una metáfora de la creación artística, específicamente del arte poética, o acaso como una contradicción entre la precisión y exactitud de las matemáticas y la imposibilidad de éstas de asimilar matemáticamente los sucesos que ocurren en el cuento. Nuestra lectura del cuento, ha privilegiado el sentido matemático, porque nos ha parecido que en efecto, «Tigres azules» es uno de los cuentos donde más abundan no solamente conceptos matemáticos, sino incluso términos matemáticos explícitamente empleados en el mismo relato. Nos ha parecido también que «Tigres azules» es uno de los relatos menos estudiados de Borges, especialmente desde la cantera de las matemáticas, disciplina que como bien sabemos, era una de las pasiones intelectuales de nuestro célebre autor Borges, tan erudito.
Hemos afirmado en un artículo anterior donde analizamos el poema «Descartes» y la visión de la geometría, el espacio y el tiempo que se deduce del poema y de otros textos borgeanos, que nada es casual en la obra de Borges. Tampoco es casual en absoluto que Borges hubiera decidido que el protagonista de «Tigres azules» fuera un profesor de lógica occidental, fascinado por los tigres y estudioso de Baruch Spinoza. ¿Qué explicación lógica podría haber dado Alexander Craigie a la transformación numérica sin orden ni concierto de las fabulosas piedras? Estamos de acuerdo con Jaime Alazraki, especialista en la obra de Borges, cuando afirma que el común denominador de las ficciones borgeanas sería un relativismo que influye y determina todo. Es claro que Borges nos presenta un universo en el que no podemos estar seguros de nada. En su relato «Tigres azules», se refiere a la «aberración de las matemáticas», —también llamado «obsceno milagro»— debido a la imposiblidad de entender la multiplicación y substracción inaudita de las piedras maravillosas que no parecen obedecer a ningún patrón conocido en el amplio ámbito de las leyes y fórmulas matemáticas. No es posible tan si quiera decir que 2+2=4 porque en el universo mágico de «Tigres azules», precisamente esto no ocurre, más bien sucede todo lo contrario.
Utilizando la variable aleatoria discreta, concepto clave de la estadística, y además manipulando un poco la historia borgeana, hemos intendado presentar una posible explicación lógica a la realidad cambiante y cuantitativa presente en «Tigres azules». Nuestra intención, como hemos mencionado, ha sido sobre todo la de hacer más manejable para los estudiantes universitarios, algunos conceptos matemáticos de la estadística, al pensar en ejemplos concretos provenientes de relatos, como en este caso, que además permitan a los estudiantes ampliar sus horizontes académicos al leer buena literatura. Comentaremos luego, la relación que hemos encontrado entre los dos cuentos analizados en cuanto a la visión del mundo que Borges nos presenta en ellos.
En el relato «El espejo y la máscara», el poeta de la corte representaría a todos los poetas, y de esta manera, desde luego, al mejor usuario del lenguaje. Es muy interesante que justamente el experto en las palabras no sea capaz de entender todo el lenguaje, de transmitir a través de su arte la realidad o su visión de la misma, de expresar la Belleza o la Verdad mediante ella. En «Tigres azules», también el profesor Craigie es experto en lógica occidental y sin embargo no será capaz de entender la lógica de la transformación numérica de las piedras azules.
En «El espejo y la máscara», el Rey del cuento le regala al Ollán un espejo como premio por su primer poema que era una mímesis de la realidad. El poeta ha intentado reflejar la realidad y de esta manera estaría funcionando no en el universo regido por la «episteme», sino en el ámbito de la «doxa», de las apariencias, porque la descripción fotográfica de la realidad no la agota ni la representa en su totalidad. El segundo regalo del Rey de Irlanda fue una máscara de oro y correspondía al segundo poema que escondía la realidad; ya no era una descripción puntillosa de la batalla como en el primer poema, sino más bien «era la misma batalla». El poeta tuvo que librar su batalla personal con el lenguaje al escribir el segundo poema que ya no era un calco de la realidad. El tercer poema de Ollán, siendo el más breve de todos, y también el más intenso, representa la maravilla de todas las maravillas, el absoluto estético. De alguna manera podemos decir que el poeta ha destruído el lenguaje al trascenderlo. El poeta ha roto el lenguaje al acceder a la maravilla con una sola palabra o tal vez una breve frase esencial. El Rey y el poeta pagarán por esa «hamartía»; el Rey por ser testigo de lo imposible, por haber instigado la maravilla, y el poeta por haberla ejecutado aplicadamente, y por tanto, por haber actuado como si fuera Dios, tal como Alexander Craigie lo hiciera en «Tigres azules».
El lenguaje es lineal y la realidad es simultánea, y por ende, el poeta del relato «El espejo y la máscara» no puede, aunque lo intenta, aprehender la realidad mediante el lenguaje, no obstante ser pues, en tanto poeta, el mejor usuario del lenguaje. El poeta tampoco puede acceder a la Belleza mediante el lenguaje humano, y la Belleza con mayúscula, como aparece en el relato de Borges, puede de hecho ser un sinónimo de la Verdad en este relato plurisignificativo. Al salir del palacio, el poeta se suicida con la daga regalada por su Rey. Por su parte, el Rey de Irlanda dejó de ser rey para ser un vagabundo que no repitió nunca el misterioso poema-línea o acaso poema-palabra que sin embargo encerraba la Maravilla y la Belleza.
En ambos cuentos ocurren «hamartías» muy importantes y similares. Alexander Craigie, manipula unas piedras sagradas que se multiplican y disipan de manera inexplicable para los seres humanos. Su inefable acción es un desafío muy caro que pone en evidencia la limitación de las matemáticas para explicar transformaciones numéricas. El poeta de la corte, impelido por su rey, se atreve a quebrar el lenguaje al intentar acceder a la Belleza = Verdad por medio de las palabras. Alexander Craigie casi se vuelve loco intentado entender lo incomprensible, y se salva de la locura al entregar las piedras azules a cambio de la normalidad en su vida : «Te quedas con los días y las noches, con la cordura, con los hábitos, con el mundo.»
Borges nos presenta en ambos relatos una visión del mundo impregnada de relativismo. Como bien señala Alazraki, el relativismo característico de los relatos borgeanos nos incita a ver el mundo en continuo movimiento, nos invita a tratar de trasdender el «hic et nunc», a buscar todas las dimensiones posibles de la realidad. Para Borges, el mundo es impenetrable, y el universo es incomprensible para los seres humanos, y por tanto, cualquier intento por descrifrar el universo conducirá al fracaso. En el caso del poeta del relato «El espejo y la máscara», su «hamartía» le condujo al suicidio, y al rey lo redujo a la condición de paria. En el cuento «Tigres azules», la «hamartía» de Alexander Craigie lo alienó y fue rescatado de esa alienación tras rogar a Alá que su vida volviera a la normalidad. Solamente es salvado cuando le entrega las piedras mágicas o diabólicas al misterioso mendigo ciego que se las pidió a cambio de devolverle la cordura y el mundo.
Como bien señala Alazraki en La prosa narrativa de Jorge Luis Borges (1974),
«Borges ha negado la validez de la metafísica en el contexto de la realidad, pero la ha aplicado a un contexto donde recobra su vigencia: la literatura.»
Concluimos afirmando que para efecto de nuestro colectivo de aprendizaje, los textos matemáticos de Borges son muy útiles para incitar a que los estudiantes piensen de manera crítica, a que amplíen sus conocimientos literarios a la misma vez que sus estudios de estadística dan un giro de muchos grados, al trabajar con ejemplos que nunca hubieran imaginado. Las humanidades y las ciencias se abrazan en armonía gracias a los múltiples y eruditos conocimientos de Borges. Los estudiantes en nuestro colectivo de aprendizaje se enriquecerán no sólo académicamente sino también desde una perspectiva más global y humana.
De hecho, Borges nos maravilla y nos transforma; nos impele a cuestionarnos a cada paso, a reflexionar sobre el mundo, a dudar de lo que creemos seguro, a mirar la realidad con ojos de poeta y de filósofo. ¿Quién se atrevería a decir que sigue siendo la misma persona después de leer un texto de Borges?
BIBLIOGRAFÍA
Alazraki, J.: Versiones-inversiones-reversiones, Madrid, Gredos, 1977.
Alazraki, J.: Jorge Luis Borges, Nueva York: Columbia University Press, 1971.
Balderston, Daniel. «The Theory of Games and Genetic Criticism: On the Manuscript of ‘La Lotería en Babilonia’,» Variaciones Borges, 36 (2003). 155-165
Barrenechea, A.M.: La expresión de la irrealidad en la obra de J.L.Borges, México: El Colegio de México, 1957.
Borges, Jorge Luis, Obras Completas. Buenos Aires, EMECE. 1996.
Kcenich, Stephen; Bosse, Michael J. «$158 per Quart: The Value of a Volume of Coins,»
AMATYC Review, v29 n2 p15-21 Spr. 2008.
Kcenich, Stephen; Bosse, Michael J. «Extending Rules for Exponents and Roots Utilizing Mathematical Connections.» AMATYC Review, v27 n2 p19-29 Spr 2006.
Luna-Escudero-Alie, María-Elvira. «Reflexiones sobre los límites del lenguaje en ‘El espejo y la máscara’ de Jorge Luis Borges». Espéculo, Revista de estudios literarios. Universidad Complutense de Madrid, 22 (2002),
https://www.ucm.es/info/especulo/numero22/espejo.html
Mata, Esteban. «Los azules tigres del caos, un vistazo al pensamiento de la complejidad en la obra de Jorge Luis Borges.» Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLVII (120-121), (2009). 37-44.
Mateos, Zulma. Filosofía en la obra de Jorge Luis Borges, Buenos Aires, Biblos, 1998.
Rodríguez Monegal, E.: Borges par lui-même, París: Ed.du Seuil, 1970.
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* Stephen Kcenich es Magister en Matemáticas de Pennsylvania State University. Es profesor asociado de tiempo completo de Matemáticas (todos los niveles) en Montgomery College, Takoma-Park, Silver Spring Campus, Maryland. También trabaja como profesor adjunto en la Universidad de Maryland, College Park enseñando Matemáticas, y en la U. Towson, también en Maryland enseñando Matemáticas y Economía. Ha escrito artículos sobre Matemáticas en diferentes revistas especializadas.
** Maria Elvira Luna Escudero Alie es Licenciada en Filosofía, Literatura y Lingüística de la Pontificia Universidad Católica del Perú. Tiene un Doctorado en Cultura y Literatura Ibero-Americana de la Universidad Georgetown, en Washington DC. Su tesis doctoral fue: «La estructura temporal en el teatro de Mario Vargas Llosa». Es profesora de francés y castellano en Montgomery College, Takoma-Park, Silver Spring Campus, Maryland. También dicta clases como profesora adjunta en la U. George Mason, en Virginia. Ha trabajado en la Universidad Johns Hopkins-SAIS, MD, en Georgetown U, Harvard U., Howard U., George Washington U., entre otras.